Determine se as integrais abaixo convergem ou divergem. Caso convirja, determine o valor da integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a integral converge (ou seja, dá um valor finito) ou diverge (vai para infinito). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias, que são aquelas que têm limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria como um limite. Como o limite inferior é , a gente transforma a integral em:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que a integral de é , onde é uma constante. No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos aplicar os limites na antiderivada que encontramos:

Passo 5

Agora, analisamos o limite quando tende a . O termo com indo para menos infinito tende a zero, porque a exponencial de um número muito negativo fica bem pequena:

Resposta

A integral converge e seu valor é:

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Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial. e
Determine se as integrais abaixo convergem ou divergem. Caso convirja, determine o valor da integral.
Usando o método das seções transversais, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas e , em torno da reta .