Determine se as integrais abaixo convergem ou divergem. Caso convirja, determine o valor da integral.
integral-infty^-1 e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a integral converge (ou seja, dá um valor finito) ou diverge (vai para infinito). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias, que são aquelas que têm limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria como um limite. Como o limite inferior é integral-infty^-1 e^2 x , dx = lima to -infty integrala^-1 e^2 x , dx , a gente transforma a integral em:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de integral e^2x , dx = 12 e^2x + C . Sabemos que a integral de é , onde é uma constante. No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos aplicar os limites na antiderivada que encontramos:
lima to -infty [ 12 e^2x ]a^-1 = lima to -infty ( 12 e^-2 - 12 e^2a )

Passo 5

Agora, analisamos o limite quando 12 e^-2 - 12 cdot 0 = 12 e^-2 tende a . O termo com indo para menos infinito tende a zero, porque a exponencial de um número muito negativo fica bem pequena:

Resposta

A integral converge e seu valor é:
12 e^2

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