Usando o método das seções transversais, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas e , em torno da reta .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas , e em torno da reta . Vamos usar o método das seções transversais, também conhecido como método dos anéis ou discos.

Passo 2

Vamos começar identificando a região que vamos girar. As curvas dadas são , que é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 2, , que é uma linha horizontal, e , que é o eixo y. Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor a região limitada.

Passo 3

Encontramos os pontos de interseção para determinar os limites de integração. Igualando a :
Então, a região limitada está entre e .

Passo 4

Como vamos girar em torno da reta , precisamos usar o método dos anéis (ou washers). A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde:
  • é a distância do eixo de rotação até a função externa.
  • é a distância do eixo de rotação até a função interna.

Passo 5

Identificamos as funções externa e interna em relação ao eixo . No nosso caso:
  • A função externa é a distância do eixo até , que é constante: .
  • A função interna é a distância do eixo até , que depende de : .

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Calculamos a integral:
Avaliada de 0 a :

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelo para encontrar o volume:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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