Usando o método das seções transversais, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
, em torno da reta
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas
,
e
em torno da reta
. Vamos usar o método das seções transversais, também conhecido como método dos anéis ou discos.
Passo 2
Vamos começar identificando a região que vamos girar. As curvas dadas são
, que é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 2,
, que é uma linha horizontal, e
, que é o eixo y. Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor a região limitada.
Passo 3
Encontramos os pontos de interseção para determinar os limites de integração. Igualando
a
:
Então, a região limitada está entre
e
.
Passo 4
Como vamos girar em torno da reta
, precisamos usar o método dos anéis (ou washers). A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde:
-
é a distância do eixo de rotação até a função externa. -
é a distância do eixo de rotação até a função interna.
Passo 5
Identificamos as funções externa e interna em relação ao eixo
. No nosso caso:
- A função externa é a distância do eixo
até , que é constante: . - A função interna é a distância do eixo
até , que depende de : .
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Calculamos a integral:
Avaliada de 0 a
:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos pelo
para encontrar o volume:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.
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, podemos afirmar que
?