Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de segunda ordem:
. A gente vai usar o método dos coeficientes indeterminados, que é ótimo para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função que já conhecemos, como exponenciais, senos, cossenos, etc. Vamos precisar achar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução específica para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
, o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas
, o que significa que a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, e já faz parte da solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução por
para garantir que não seja uma solução da homogênea.
Assumimos então:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Após simplificar e agrupar os termos, obtemos um sistema de equações para os coeficientes
e
.
Passo 6
Resolvendo o sistema, encontramos os valores de
e
:
Passo 7
Substituímos
e
na nossa suposição para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Determine se as integrais abaixo convergem ou divergem. Caso convirja, determine o valor da integral.
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