Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de segunda ordem: . A gente vai usar o método dos coeficientes indeterminados, que é ótimo para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função que já conhecemos, como exponenciais, senos, cossenos, etc. Vamos precisar achar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução específica para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por , o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas , o que significa que a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , e já faz parte da solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução por para garantir que não seja uma solução da homogênea.
Assumimos então:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituímos , e na equação original:
Após simplificar e agrupar os termos, obtemos um sistema de equações para os coeficientes e .

Passo 6

Resolvendo o sistema, encontramos os valores de e :

Passo 7

Substituímos e na nossa suposição para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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