Determine se as integrais abaixo convergem ou divergem. Caso convirja, determine o valor da integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a integral
converge ou diverge. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias. Vamos precisar entender como lidar com integrais que têm pontos onde a função não está definida ou tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral:
. Perceba que quando
se aproxima de 1, o denominador
tende a zero, o que faz a função crescer sem limite. Isso sugere que podemos estar lidando com uma integral imprópria devido a uma descontinuidade no intervalo de integração.
Passo 3
Para resolver essa integral imprópria, precisamos transformar o limite de integração onde ocorre o problema (no caso,
) em um limite. Vamos reescrever a integral como o limite quando
se aproxima de 1:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral indefinida de
:
Aqui, usamos a regra de integração para funções da forma
, onde a integral é
.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a
, temos:
Sabemos que
, então simplificamos para:
Passo 6
Agora, observamos o que acontece quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
). O termo
tende a 0, então
tende a
. Multiplicando por
, temos que o limite tende a
.
Resposta
A integral
diverge, ou seja, não possui um valor finito.
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e
, em torno da reta
.
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