Determine se as integrais abaixo convergem ou divergem. Caso convirja, determine o valor da integral.
integral0^1 ln xx d x

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a seguinte integral converge ou diverge. Caso converja, também devemos calcular o valor da integral.
integral0^1 ln xx , dx
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo logaritmos.

Passo 2

Primeiro, observamos que o intervalo de integração é de 0 a 1, e o denominador da fração é x. Como x se aproxima de 0, a expressão ln xx pode se tornar problemática, pois ln x tende a -infty quando x tende a 0. Isso caracteriza uma integral imprópria.

Passo 3

Para analisar a convergência, devemos avaliar o comportamento da função integranda perto de x = 0. A função ln xx tende a -infty quando x se aproxima de 0 a partir da direita. Portanto, precisamos verificar se essa tendência influencia a convergência da integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral como um limite para lidar com a descontinuidade em x = 0:
lima to 0^+ integrala^1 ln xx , dx
Agora, precisamos encontrar uma antiderivada da função ln xx.

Passo 5

Sabemos que:
ddx ( (ln x)^22 ) = ln xx
Portanto, uma antiderivada de ln xx é (ln x)^22.

Passo 6

Aplicando os limites de integração, temos:
lima to 0^+ [ (ln 1)^22 - (ln a)^22 ] = lima to 0^+ [ 0 - (ln a)^22 ] = -lima to 0^+ (ln a)^22

Passo 7

Quando a se aproxima de 0, ln a tende a -infty, então (ln a)^2 tende a +infty. Portanto:
-lima to 0^+ (ln a)^22 = -infty
Isso indica que a integral diverge para -infty.

Resposta

A integral diverge.

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