Determine se as integrais abaixo convergem ou divergem. Caso convirja, determine o valor da integral.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a seguinte integral converge ou diverge. Caso converja, também devemos calcular o valor da integral.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo logaritmos.

Passo 2

Primeiro, observamos que o intervalo de integração é de 0 a 1, e o denominador da fração é . Como se aproxima de 0, a expressão pode se tornar problemática, pois tende a quando tende a 0. Isso caracteriza uma integral imprópria.

Passo 3

Para analisar a convergência, devemos avaliar o comportamento da função integranda perto de . A função tende a quando se aproxima de 0 a partir da direita. Portanto, precisamos verificar se essa tendência influencia a convergência da integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral como um limite para lidar com a descontinuidade em :
Agora, precisamos encontrar uma antiderivada da função .

Passo 5

Sabemos que:
Portanto, uma antiderivada de é .

Passo 6

Aplicando os limites de integração, temos:

Passo 7

Quando se aproxima de 0, tende a , então tende a . Portanto:
Isso indica que a integral diverge para .

Resposta

A integral diverge.

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