Determine se as integrais abaixo convergem ou divergem. Caso convirja, determine o valor da integral.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a seguinte integral converge ou diverge. Caso converja, também devemos calcular o valor da integral.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo logaritmos.
Passo 2
Primeiro, observamos que o intervalo de integração é de 0 a 1, e o denominador da fração é
. Como
se aproxima de 0, a expressão
pode se tornar problemática, pois
tende a
quando
tende a 0. Isso caracteriza uma integral imprópria.
Passo 3
Para analisar a convergência, devemos avaliar o comportamento da função integranda perto de
. A função
tende a
quando
se aproxima de 0 a partir da direita. Portanto, precisamos verificar se essa tendência influencia a convergência da integral.
Passo 4
Vamos reescrever a integral como um limite para lidar com a descontinuidade em
:
Agora, precisamos encontrar uma antiderivada da função
.
Passo 5
Sabemos que:
Portanto, uma antiderivada de
é
.
Passo 6
Aplicando os limites de integração, temos:
Passo 7
Quando
se aproxima de 0,
tende a
, então
tende a
. Portanto:
Isso indica que a integral diverge para
.
Resposta
A integral diverge.
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Usando o método das seções transversais, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
, em torno da reta
.
Determine se as integrais abaixo convergem ou divergem. Caso convirja, determine o valor da integral.
Este exercício trata da ordenação dos números reais e sua relação com as operações de soma, multiplicação e potências: Sabendo que
, podemos afirmar que
?
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