Determine as integrais definidas:

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a integral definida de de até . Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar a função seno e entender um pouco sobre simetria de funções ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral definida de uma função nos dá a área sob a curva dessa função no intervalo especificado. A função é uma função ímpar, o que significa que . Isso é útil porque, quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como de até , o resultado é zero. Mas vamos fazer a conta para ver.

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que a integral de em relação a é . Então, a antiderivada de é .

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Avaliamos a antiderivada nos limites de integração e subtraímos:

Passo 5

Vamos calcular cada termo:

(porque o cosseno é uma função par)
Então, substituindo:

Resposta

O valor da integral definida é .

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Resolva as integrais impróprias abaixo:
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Considere a função definida por .
Encontre a derivada de com relação a ;
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