Determine as integrais definidas:
integral-pi2^pi2 sen x d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a integral definida de de sen x até -pi2. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar a função seno e entender um pouco sobre simetria de funções ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral definida de uma função nos dá a área sob a curva dessa função no intervalo especificado. A função é uma função ímpar, o que significa que . Isso é útil porque, quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como de sen x até sen(-x) = -sen x, o resultado é zero. Mas vamos fazer a conta para ver.

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que a integral de em relação a sen x é sen x. Então, a antiderivada de é x.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Avaliamos a antiderivada nos limites de integração e subtraímos:
[-cos x]-pi2^pi2 = -cos(pi2) - (-cos(-pi2))

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
cos(pi2) = 0
cos(-pi2) = 0 (porque o cosseno é uma função par)
Então, substituindo:
-0 - (-0) = 0 - 0 = 0

Resposta

O valor da integral definida é 0.

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