Determine se as integrais impróprias abaixo (do tipo I) são convergentes ou divergentes. integral-infty^0 1(x-1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral imprópria converge ou diverge. Isso envolve o estudo de integrais definidas em intervalos infinitos, um assunto de Cálculo que trata de como lidar com integrais onde os limites vão ao infinito ou onde a função tem descontinuidades. Vamos precisar usar propriedades de limites e integrar funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria do tipo I. Esse tipo ocorre quando os limites de integração são infinitos, como no nosso caso, de integral-infty^0 1(x-1)^3 , dx = lima to -infty integrala^0 1(x-1)^3 , dx a . Para resolver, a gente transforma a integral em um limite. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida integral 1(x-1)^3 , dx = integral (x-1)^-3 , dx = (x-1)^-2-2 + C = -12(x-1)^2 + C . Para isso, usamos a regra de potência para integrais:

Passo 4

Aplicando os limites de integração de lima to -infty [ -12(0-1)^2 - ( -12(a-1)^2 ) ] até -12(1)^2 + 12(a-1)^2 = -12 + 12(a-1)^2 , temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite conforme -12 + 0 = -12 tende a . Note que vai para , então tende a . Assim:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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