Determine se as integrais impróprias abaixo (do tipo I) são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. Isso envolve o estudo de integrais definidas em intervalos infinitos, um assunto de Cálculo que trata de como lidar com integrais onde os limites vão ao infinito ou onde a função tem descontinuidades. Vamos precisar usar propriedades de limites e integrar funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria do tipo I. Esse tipo ocorre quando os limites de integração são infinitos, como no nosso caso, de
a
. Para resolver, a gente transforma a integral em um limite. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida
. Para isso, usamos a regra de potência para integrais:
Passo 4
Aplicando os limites de integração de
até
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o limite conforme
tende a
. Note que
vai para
, então
tende a
. Assim:
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.