Determine se as integrais impróprias abaixo (do tipo I) são convergentes ou divergentes. integral3^infty d xx^2+9

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa descobrir se a integral imprópria converge ou diverge. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias do tipo I, que são aquelas com limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria do tipo I. Esse tipo de integral acontece quando um dos limites de integração é infinito. No nosso caso, o limite superior é integral3^infty dxx^2+9 = limb to infty integral3^b dxx^2+9 . Para resolver, a gente transforma a integral em um limite quando o limite de integração tende ao infinito:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral dxx^2+a^2 = 1a tan^-1(xa) + C . Isso é uma integral conhecida que resulta em uma função arco-tangente. A fórmula geral é:
integral dxx^2+9 = 13 tan^-1(x3) + C
No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos aplicar os limites de integração de 3 até integral3^b dxx^2+9 = 13 tan^-1(b3) - 13 tan^-1(33) :
= 13 tan^-1(b3) - 13 tan^-1(1)
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que limb to infty ( 13 cdot pi2 - 13 cdot pi4 ) = 13 ( pi2 - pi4 ) = 13 cdot pi4 = pi12 e, quando tende ao infinito, tende a . Então:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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