Determine se as integrais impróprias abaixo (do tipo I) são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa descobrir se a integral imprópria
converge ou diverge. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias do tipo I, que são aquelas com limites infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria do tipo I. Esse tipo de integral acontece quando um dos limites de integração é infinito. No nosso caso, o limite superior é
. Para resolver, a gente transforma a integral em um limite quando o limite de integração tende ao infinito:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. Isso é uma integral conhecida que resulta em uma função arco-tangente. A fórmula geral é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos aplicar os limites de integração de 3 até
:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que
e, quando
tende ao infinito,
tende a
. Então:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.