O gráfico de y = e^(-x) para x >= 0 é rotacionado em torno do eixo x.
c) Mostre que a área da superfície deste sólido é finita e calcule-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é o gráfico da função para . A gente vai girar esse gráfico em torno do eixo e precisa descobrir a área da superfície desse sólido resultante. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de superfícies de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície quando rotacionamos uma curva em torno do eixo . A fórmula é:
Aqui, e são os limites de integração. No nosso caso, e , já que .

Passo 3

Agora, vamos identificar e calcular sua derivada .
Calculando a derivada:

Passo 4

Substituímos e na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Vamos definir . Dessa forma, ou .
Quando , .
Quando , .
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral:
Essa integral tem uma antiderivada conhecida. A antiderivada de é:
Mas para simplificar, usamos a forma com logaritmo:

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a 1 na antiderivada:
Calculando em :
E em :
Então, a integral resulta em:

Passo 8

Multiplicamos o resultado da integral por :

Resposta

A área da superfície do sólido é:

Exercícios relacionados