O gráfico de
para
é rotacionado em torno do eixo
.
c) Mostre que a área da superfície deste sólido é finita e calcule-a.
c) Mostre que a área da superfície deste sólido é finita e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é o gráfico da função
para
. A gente vai girar esse gráfico em torno do eixo
e precisa descobrir a área da superfície desse sólido resultante. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de superfícies de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície quando rotacionamos uma curva
em torno do eixo
. A fórmula é:
Aqui,
e
são os limites de integração. No nosso caso,
e
, já que
.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e calcular sua derivada
.
Calculando a derivada:
Passo 4
Substituímos
e
na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Vamos definir
. Dessa forma,
ou
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral:
Essa integral tem uma antiderivada conhecida. A antiderivada de
é:
Mas para simplificar, usamos a forma com logaritmo:
Passo 7
Aplicando os limites de 0 a 1 na antiderivada:
Calculando em
:
E em
:
Então, a integral resulta em:
Passo 8
Multiplicamos o resultado da integral por
:
Resposta
A área da superfície do sólido é: