Determine se as integrais impróprias abaixo (do tipo I) são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O exercício pede pra gente descobrir se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias do tipo I, que envolvem limites infinitos, e usar algumas técnicas de integração, como a substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que está sendo integrada:
. Para facilitar a integração, vamos usar uma substituição que simplifique essa expressão. Vamos definir
.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de
em relação a
:
Isso significa que podemos substituir
por
na integral.
Passo 4
Vamos substituir na integral original:
Passo 5
Sabemos que a integral de
de 0 até infinito é uma integral bem conhecida e que converge a 1:
Resposta
A integral imprópria
é convergente e seu valor é
.