Determine se as integrais impróprias abaixo (do tipo I) são convergentes ou divergentes. integral0^infty x cdot e^-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede pra gente descobrir se a integral imprópria é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias do tipo I, que envolvem limites infinitos, e usar algumas técnicas de integração, como a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que está sendo integrada: . Para facilitar a integração, vamos usar uma substituição que simplifique essa expressão. Vamos definir .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx em relação a :
Isso significa que podemos substituir por na integral.

Passo 4

Vamos substituir na integral original:
integral0^infty x cdot e^-x^2 , dx = integralu=0^u=infty e^-u cdot du2 = 12 integral0^infty e^-u , du

Passo 5

Sabemos que a integral de 12 integral0^infty e^-u , du = 12 cdot 1 = 12 de 0 até infinito é uma integral bem conhecida e que converge a 1:

Resposta

A integral imprópria é convergente e seu valor é .

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