Determine se as integrais impróprias abaixo (do tipo I) são convergentes ou divergentes. integral0^infty cos x1+sen^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral imprópria do tipo I abaixo é convergente ou divergente:
integral0^infty cos x1+sin^2 x , dx
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função que está sendo integrada:
f(x) = cos x1+sin^2 x
Sabemos que é uma função oscilante que varia entre -1 e 1, e está sempre entre 1 e 2, já que varia entre 0 e 1. Portanto, também oscila e tem valores limitados.

Passo 3

Para determinar a convergência da integral, podemos aplicar o Teste da Convergência Absoluta. Isso significa que vamos verificar se a integral do valor absoluto da função é convergente:
integral0^infty | cos x1+sin^2 x | , dx
Como | cos x1+sin^2 x | <= 1 e integral0^infty 1 , dx = infty , temos:
A integral de 1 de 0 até o infinito é:
Como a integral do valor absoluto diverge, concluímos que a integral original também não converge absolutamente.
Além disso, como a função oscila indefinidamente sem se aproximar de zero, não podemos aplicar o Teste da Convergência Condicional para afirmar sua convergência.

Resposta

A integral
integral0^infty cos x1+sin^2 x , dx
diverge.

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