O gráfico de y = e^(-x) para x >= 0 é rotacionado em torno do eixo x.
a) A região determinada pelo gráfico da função y e o eixo x tem área finita? Em caso positivo, determine-a.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o gráfico da função para . Queremos saber se a área entre esse gráfico e o eixo é finita. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais definidas na matemática, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Para encontrar a área sob o gráfico de entre e tendendo ao infinito, usamos a integral definida:

Passo 3

Vamos calcular essa integral. A antiderivada de é:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração:
Sabemos que e , então:

Resposta

Sim, a área é finita e vale .

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