O gráfico de
para
é rotacionado em torno do eixo
.
a) A região determinada pelo gráfico da função
e o eixo
tem área finita? Em caso positivo, determine-a.
a) A região determinada pelo gráfico da função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o gráfico da função
para
. Queremos saber se a área entre esse gráfico e o eixo
é finita. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais definidas na matemática, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Para encontrar a área sob o gráfico de
entre
e
tendendo ao infinito, usamos a integral definida:
Passo 3
Vamos calcular essa integral. A antiderivada de
é:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
Sim, a área é finita e vale
.