Determine o valor de s in R para que a integral
integral0^infty e^-s t cdot sen t d t
seja convergente.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos os valores de integral0^infty e^-s t cdot sen t , dt reais para os quais a integral
é convergente. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais impróprias e funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar entender como o comportamento da função dentro da integral afeta sua convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando: . Aqui, é uma função exponencial decrescente se e crescente se . A função é uma função trigonométrica que oscila entre -1 e 1.

Passo 3

Para que a integral seja convergente, a função precisa decair suficientemente rápido à medida que tende ao infinito. Se , decai exponencialmente, o que ajuda a garantir a convergência da integral. Se , essa função não decai ou até cresce, o que pode fazer a integral divergir.

Passo 4

Vamos calcular a integral utilizando uma fórmula conhecida de integrais envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. A integral de integral0^infty e^-s t cdot sen t , dt = 1s^2 + 1 de 0 a é dada por:
Essa fórmula é válida quando , garantindo que a exponencial decresça e a integral convirja.

Resposta

Os valores de para os quais a integral é convergente são todos os números reais positivos, ou seja, .

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