Determine o valor de
para que a integral
seja convergente.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos os valores de
reais para os quais a integral
é convergente. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais impróprias e funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar entender como o comportamento da função dentro da integral afeta sua convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
. Aqui,
é uma função exponencial decrescente se
e crescente se
. A função
é uma função trigonométrica que oscila entre -1 e 1.
Passo 3
Para que a integral seja convergente, a função
precisa decair suficientemente rápido à medida que
tende ao infinito. Se
,
decai exponencialmente, o que ajuda a garantir a convergência da integral. Se
, essa função não decai ou até cresce, o que pode fazer a integral divergir.
Passo 4
Vamos calcular a integral utilizando uma fórmula conhecida de integrais envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. A integral de
de 0 a
é dada por:
Essa fórmula é válida quando
, garantindo que a exponencial decresça e a integral convirja.
Resposta
Os valores de
para os quais a integral é convergente são todos os números reais positivos, ou seja,
.