Determine se as integrais impróprias abaixo (do tipo I) são convergentes ou divergentes. integral0^infty x cdot sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a integral imprópria integral0^infty x cdot sen x , dx é convergente ou divergente. Isso envolve trabalhar com integrais que têm limites infinitos, então vamos precisar usar técnicas de cálculo integral, como a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma que a gente consiga lidar com o infinito. A integral imprópria integral0^infty x cdot sen x , dx pode ser expressa como o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty integral0^b x cdot sen x , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral x cdot sen x , dx usando integração por partes. Lembre-se que a fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • u = x então du = dx
  • dv = sen x , dx então v = -cos x
Aplicando a fórmula:
integral x cdot sen x , dx = -x cdot cos x + integral cos x , dx
= -x cdot cos x + sen x + C

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites da integral:
limb to infty [ -b cdot cos b + sen b - ( -0 cdot cos 0 + sen 0 ) ]
Simplificando:
limb to infty [ -b cdot cos b + sen b ]

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando b tende ao infinito:
  • O termo -b cdot cos b oscila entre -b e b porque cos b está entre -1 e 1. Como b vai para o infinito, esse termo não tem um limite definido; ele cresce sem bound.
  • O termo sen b também oscila entre -1 e 1, mas não afeta o comportamento geral.
Como o termo -b cdot cos b não se aproxima de um valor específico, o limite não existe.

Resposta

A integral integral0^infty x cdot sen x , dx é divergente.

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