Determine se as integrais impróprias abaixo (do tipo I) são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Isso envolve trabalhar com integrais que têm limites infinitos, então vamos precisar usar técnicas de cálculo integral, como a integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de forma que a gente consiga lidar com o infinito. A integral imprópria
pode ser expressa como o limite quando
tende ao infinito:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral
usando integração por partes. Lembre-se que a fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos aplicar os limites da integral:
Simplificando:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
tende ao infinito:
- O termo
oscila entre e porque está entre e . Como vai para o infinito, esse termo não tem um limite definido; ele cresce sem bound. - O termo
também oscila entre e , mas não afeta o comportamento geral.
Como o termo
não se aproxima de um valor específico, o limite não existe.
Resposta
A integral
é divergente.