A vida útil de circuitos tem uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade f(x)=0,002 e^-0,002 x para x medido em horas (portanto x >= 0 ).
b) Calcule a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após 600 horas.
Sugestão: Se f(x) é a função de densidade de probabilidade então: (a) a probabilidade de um número x ser maior que um certo a é dada por P(x>a)=integrala^infty f(x) d x e (b) a probabilidade de um número x ser menor que um certo a é dada por P(x.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma distribuição de probabilidade que descreve a vida útil de circuitos, dada pela função para . O conteúdo aqui é sobre Distribuições de Probabilidade, especificamente a distribuição Exponencial. O que queremos calcular é a probabilidade de que um circuito continue funcionando após 600 horas.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a fórmula que dá a probabilidade de a variável P(x > a) = integrala^infty f(x) , dx ser maior que um certo valor P(x > 600) = integral600^infty 0,002 e^-0,002 x , dx . A fórmula é:
No nosso caso, horas e . Então, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos resolver essa integral. A integral de P(x > 600) = [ -e^-0,002 x ]600^infty de 600 até infinito é igual a:
P(x > 600) = 0 - (-e^-0,002 times 600) = e^-1,2
Quando tende ao infinito, tende a 0. Então, substituindo os limites:

Passo 4

Agora, vamos calcular e^-1,2 approx 0,3012 . Usando uma calculadora ou uma tabela de valores exponenciais:

Resposta

A probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após 600 horas é aproximadamente 30,12%.

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