A vida útil de circuitos tem uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade
para
medido em horas (portanto
).
a) Calcule a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de 600 horas.
Sugestão: Se
é a função de densidade de probabilidade então: (a) a probabilidade de um número
ser maior que um certo
é dada por
e (b) a probabilidade de um número
ser menor que um certo
é dada por
.
a) Calcule a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de 600 horas.
Sugestão: Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a vida útil de circuitos descrita por uma distribuição de probabilidade com a função densidade
, onde
é medido em horas e
. Precisamos calcular a probabilidade de que um circuito funcione por menos de 600 horas. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição exponencial e integração.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a função dada é uma distribuição exponencial, que é frequentemente usada para modelar o tempo até a ocorrência de eventos, como falhas de componentes. A distribuição exponencial tem a forma geral:
onde
é a taxa de ocorrência do evento.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de que o tempo de funcionamento
seja menor que 600 horas, ou seja,
. Para distribuições contínuas, essa probabilidade é calculada pela integral da função densidade de
até
:
Passo 4
Substituindo a função
na integral, temos:
Passo 5
Para resolver essa integral, encontramos a antiderivada de
. Sabemos que:
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 7
Calculando os valores:
Sabemos que
, então:
Resposta
A probabilidade de os circuitos funcionarem em menos de 600 horas é aproximadamente
ou 69,88%.