A vida útil de circuitos tem uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade f(x)=0,002 e^-0,002 x para x medido em horas (portanto x >= 0 ).
a) Calcule a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de 600 horas.
Sugestão: Se f(x) é a função de densidade de probabilidade então: (a) a probabilidade de um número x ser maior que um certo a é dada por P(x>a)=integrala^infty f(x) d x e (b) a probabilidade de um número x ser menor que um certo a é dada por P(x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a vida útil de circuitos descrita por uma distribuição de probabilidade com a função densidade , onde é medido em horas e . Precisamos calcular a probabilidade de que um circuito funcione por menos de 600 horas. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição exponencial e integração.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a função dada é uma distribuição exponencial, que é frequentemente usada para modelar o tempo até a ocorrência de eventos, como falhas de componentes. A distribuição exponencial tem a forma geral:
f(x) = lambda e^-lambda x
onde é a taxa de ocorrência do evento.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que o tempo de funcionamento P(x < 600) = integral0^600 f(x) , dx seja menor que 600 horas, ou seja, . Para distribuições contínuas, essa probabilidade é calculada pela integral da função densidade de até :

Passo 4

Substituindo a função P(x < 600) = integral0^600 0,002 e^-0,002 x , dx na integral, temos:

Passo 5

Para resolver essa integral, encontramos a antiderivada de integral e^kx , dx = 1k e^kx + C . Sabemos que:
integral 0,002 e^-0,002 x , dx = -e^-0,002 x + C
Aplicando isso, temos:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de P(x < 600) = [ -e^-0,002 x ]0^600 = -e^-0,002 times 600 + e^0 a :

Passo 7

Calculando os valores:
-e^-1,2 + 1
Sabemos que -0,3011942 + 1 = 0,6988058 , então:

Resposta

A probabilidade de os circuitos funcionarem em menos de 600 horas é aproximadamente ou 69,88%.

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