(Trombeta de Gabriel (ou de Torricelli)) Considere a região delimitada pela função
, pela reta vertical
e pelo eixo
destacada em amarelo na figura abaixo:
Área abaixo da curva
para
.
Imagine agora a região em amarelo na figura acima rotacionando em torno do eixo
. O sólido obtido recebe o nome de Trombeta de Gabriel ou de Torricelli. Veja sua imagem abaixo:
Trombeta de Gabriel
.
Este sólido tem volume finito mas superfície infinita
, isto é, você pode preenchê-lo completamente com tinta (pouco mais de 3 litros, na verdade) mas não existe quantidade de tinta no universo suficiente para pintá-lo. Neste exercício você vai verificar estes resultados.
b) A área de uma superfície de revolução como a descrita no item anterior é dada por
Utilize este resultado e mostre que a área da superfície da trombeta de Gabriel não é finita. (Sugestão: utilize o teste da comparação.)
Imagine agora a região em amarelo na figura acima rotacionando em torno do eixo
Este sólido tem volume finito mas superfície infinita
b) A área de uma superfície de revolução como a descrita no item anterior é dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Trombeta de Gabriel! A gente precisa mostrar que a área da superfície desse sólido de revolução é infinita. Pra isso, vamos usar a fórmula da área de uma superfície de revolução e aplicar o teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da área de uma superfície de revolução ao redor do eixo
:
No nosso caso, a função é
, e vamos rotacionar de
até
. Então, os limites da integral são
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Mas como estamos usando no quadrado, fica:
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula da área, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Isso porque
é sempre positiva, então
é maior ou igual a 1, e a raiz disso também é maior ou igual a 1.
Passo 6
Usando essa desigualdade, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral
:
Então, a integral diverge para infinito.
Passo 8
Como a área
é maior ou igual a algo que já é infinito, concluímos que:
Portanto, a superfície da Trombeta de Gabriel tem área infinita.
Resposta
A área da superfície da Trombeta de Gabriel é infinita.