(Trombeta de Gabriel (ou de Torricelli)) Considere a região delimitada pela função f(x)=1 / x, pela reta vertical x=1 e pelo eixo x destacada em amarelo na figura abaixo:
Área abaixo da curva y=1 / x para x >= 1.
Imagine agora a região em amarelo na figura acima rotacionando em torno do eixo x. O sólido obtido recebe o nome de Trombeta de Gabriel ou de Torricelli. Veja sua imagem abaixo:
Trombeta de Gabriel ^1.
Este sólido tem volume finito mas superfície infinita ^2, isto é, você pode preenchê-lo completamente com tinta (pouco mais de 3 litros, na verdade) mas não existe quantidade de tinta no universo suficiente para pintá-lo. Neste exercício você vai verificar estes resultados.
b) A área de uma superfície de revolução como a descrita no item anterior é dada por
A=2 pi cdot integrala^b f(x) cdot raiz[1+f^prime(x)^2] d x
Utilize este resultado e mostre que a área da superfície da trombeta de Gabriel não é finita. (Sugestão: utilize o teste da comparação.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Trombeta de Gabriel! A gente precisa mostrar que a área da superfície desse sólido de revolução é infinita. Pra isso, vamos usar a fórmula da área de uma superfície de revolução e aplicar o teste da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da área de uma superfície de revolução ao redor do eixo A = 2pi integrala^b f(x) cdot raiz1 + [f^prime(x)]^2 , dx :
No nosso caso, a função é , e vamos rotacionar de até . Então, os limites da integral são e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de f^prime(x) = ddx ( 1x ) = -1x^2 :
[f^prime(x)]^2 = (-1x^2)^2 = 1x^4
Mas como estamos usando no quadrado, fica:

Passo 4

Substituindo A = 2pi integral1^infty 1x cdot raiz1 + 1x^4 , dx e na fórmula da área, temos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz1 + 1x^4 >= 1
Isso porque é sempre positiva, então é maior ou igual a 1, e a raiz disso também é maior ou igual a 1.

Passo 6

Usando essa desigualdade, temos:
A >= 2pi integral1^infty 1x cdot 1 , dx = 2pi integral1^infty 1x , dx

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral integral1^infty 1x , dx = limb to infty integral1^b 1x , dx = limb to infty [ln|x|]1^b = limb to infty (ln b - ln 1) = limb to infty ln b = infty :
Então, a integral diverge para infinito.

Passo 8

Como a área A = infty é maior ou igual a algo que já é infinito, concluímos que:
Portanto, a superfície da Trombeta de Gabriel tem área infinita.

Resposta

A área da superfície da Trombeta de Gabriel é infinita.

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