No parabolóide , calcule a área da superfície delimitada pelo cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma superfície definida pelo parabolóide que está limitada pelo cilindro . Isso envolve cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar, já que o cilindro é um círculo com raio 2.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área de uma superfície . A fórmula para a área é:
Aqui, é a região no plano delimitada pelo cilindro.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área, temos:
Passo 4
Como a região é um círculo com raio 2, é mais fácil mudar para coordenadas polares. Lembrando que e , e o elemento de área . A expressão dentro da raiz fica:
Então, a integral vira:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . Os limites de vão de a .