No parabolóide z = 2*x^2 + 2*y^2, calcule a área da superfície delimitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma superfície definida pelo parabolóide que está limitada pelo cilindro . Isso envolve cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar, já que o cilindro é um círculo com raio 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área de uma superfície . A fórmula para a área é:
Aqui, é a região no plano delimitada pelo cilindro.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área, temos:

Passo 4

Como a região é um círculo com raio 2, é mais fácil mudar para coordenadas polares. Lembrando que e , e o elemento de área . A expressão dentro da raiz fica:
Então, a integral vira:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro:
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . Os limites de vão de a .
A integral fica:

Passo 6

Agora, a integral total é:

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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