Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
integral 1x raizx d x

Passo 1

Então, a gente tem para resolver a integral indefinida de 1x raizx em relação a x. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo, mais especificamente de integrais e derivadas. Vamos precisar entender como manipular potências de x e aplicar as regras de integração básicas para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que raizx é o mesmo que x^12. Então, podemos reescrever a função da seguinte maneira:
1x raizx = 1x cdot x^12 = 1x^32 = x^-32

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:
integral 1x raizx , dx = integral x^-32 , dx
Para integrar uma potência de x, usamos a regra básica de integração:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (onde n neq -1)

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa integral:
integral x^-32 , dx = x^-32 + 1-32 + 1 + C = x^-12-12 + C

Passo 5

Simplificando a expressão:
x^-12-12 = -2x^-12 = -2raizx
Então, a integral fica:
- 2raizx + C

Passo 6

Para confirmar se está correto, vamos derivar a função encontrada:
f(x) = -2raizx = -2x^-12
A derivada de f(x) é:
f'(x) = -2 cdot (-12) x^-32 = 1x^32 = 1x raizx
Isso confirma que nossa integral está correta.

Resposta

A integral indefinida é - dfrac2raizx + C.

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