Determine as integrais: integral x^3+5 x^2-x-22x^2+3 x-10 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Pra resolver, vamos precisar fazer uma divisão polinomial e depois integrar os termos resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos ver que o grau do numerador (3, por ) é maior que o do denominador (2, por ). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão. Vamos dividir por .

Passo 3

Fazendo a divisão:
  1. (x^3 + 5x^2 - x -22) - (x^3 + 3x^2 -10x) = 2x^2 +9x -22 . Multiplicamos (2x^2 +9x -22) - (2x^2 +6x -20) = 3x -2 por e subtraímos do numerador:
  2. Agora, . Multiplicamos por e subtraímos:
Então, a divisão dá: .

Passo 4

Agora, a integral fica dividida em duas partes:
integral ( x + 2 + 3x -2x^2 +3x -10 ) dx = integral (x +2) , dx + integral 3x -2x^2 +3x -10 , dx
Vamos resolver cada uma:
  1. 3x -2x^2 +3x -10 = 32 cdot 2x +3x^2 +3x -10 - 112(x^2 +3x -10)
  2. Para a segunda integral, observamos que o numerador integral 3x -2x^2 +3x -10 , dx = 32 ln|x^2 +3x -10| - 112 integral 1(x + 32)^2 - 494 , dx é quase a derivada do denominador 32 ln|x^2 +3x -10| - 1114 ln|x + 32 - 72x + 32 + 72| + C2 (que é ). Ajustamos: Então: A última integral é da forma , que resulta em:

Resposta

Portanto, a solução da integral é:
12x^2 + 2x + 32 ln|x^2+3x-10| - 1114 ln|x -2x +5| + C
onde é a constante de integração.

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