A reta tangente ao gráfico de uma função f em p = 2 passa pelo ponto (5,19) e f(2) = -2. Encontre f'(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a derivada de uma função no ponto , ou seja, . Sabemos que a reta tangente ao gráfico de nesse ponto passa por e que . Para resolver, vamos usar o conceito de derivada como a inclinação da reta tangente e a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, lembra que a reta tangente a uma função em um ponto tem a forma:
Aqui, é a inclinação da reta tangente em , e é o valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos substituir na equação da reta tangente:
Sabemos que , então:

Passo 4

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto . Isso significa que quando , . Vamos substituir esses valores na equação da reta:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :

Resposta

Portanto, .

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