Determine as integrais integral raiz7 x+9 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente as integrais que envolvem funções radicais. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que vai ajudar a simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Para isso, vamos definir uma nova variável:
u = 7x + 9
Essa substituição transforma a nossa integral em termos de dudx = 7 Rightarrow du = 7,dx Rightarrow dx = du7 . Agora, precisamos relacionar com . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Substituindo integral raiz7x + 9,dx = integral raizu cdot du7 = 17 integral raizu,du e na integral original, temos:
Agora a integral ficou mais simples: .

Passo 4

Vamos resolver a integral integral u^n,du = u^n+1n+1 + C . Lembre-se que integral u^12,du = u^3232 + C = 23 u^32 + C é o mesmo que . A regra de integração para potências é:
Aplicando essa regra:

Passo 5

Voltando à nossa integral original, substituímos o resultado da integração:
17 integral raizu,du = 17 cdot 23 u^32 + C = 221 u^32 + C

Passo 6

Agora, vamos substituir 221 u^32 + C = 221 (7x + 9)^32 + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

Portanto, a integral de integral raiz7x + 9,dx = 221 (7x + 9)^32 + C em relação a é:

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