Determine as integrais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
em relação a
. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente as integrais que envolvem funções radicais. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que vai ajudar a simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Para isso, vamos definir uma nova variável:
Essa substituição transforma a nossa integral em termos de
. Agora, precisamos relacionar
com
. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 3
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora a integral ficou mais simples:
.
Passo 4
Vamos resolver a integral
. Lembre-se que
é o mesmo que
. A regra de integração para potências é:
Aplicando essa regra:
Passo 5
Voltando à nossa integral original, substituímos o resultado da integração:
Passo 6
Agora, vamos substituir
de volta para a expressão original em termos de
:
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine a relação entre as dimensões
e y de um retângulo de Área
de modo que ele tenha o menor perímetro.
Esboce o gráfico da função
. (3pts)
Determine as integrais
No instante
, uma bolinha é arremessada da superficie, sob efeito apenas da aceleração gravitacional
, com velocidade inicial
e ângulo
com a horizontal. Determine a taxa de variação do ângulo
entre a bolinha, o ponto de arremesso e a horizontal, em função apenas de
e
. (Sugestão: formule
em termos da distância horizontal e da altura, depois derive.) (2pts)