Determine a relação entre as dimensões
e y de um retângulo de Área
de modo que ele tenha o menor perímetro.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a relação entre as dimensões
e
de um retângulo que tenha uma área fixa
e que, além disso, tenha o menor perímetro possível. Ou seja, a gente quer descobrir como
e
devem se relacionar para que o perímetro seja o menor possível, mantendo a área igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de matemática sobre otimização usando cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas do retângulo. A área
de um retângulo é dada por:
E o perímetro
é:
A gente já sabe que a área deve ser igual a
, então nossa primeira equação é
.
Passo 3
Agora, nosso objetivo é minimizar o perímetro
. Para isso, podemos expressar
em função de
usando a equação da área:
Substituindo isso na fórmula do perímetro, temos:
Agora, o problema se resume a encontrar o valor de
que minimiza essa expressão para
.
Passo 4
Para encontrar o mínimo de
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada de
em relação a
é:
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Agora que achamos
, podemos encontrar
usando a relação
:
Então, tanto
quanto
são iguais a
.
Resposta
Para que um retângulo de área
tenha o menor perímetro possível, as dimensões devem ser iguais, ou seja:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função
. (3pts)
Suponha que as funções reais
e
são contínuas em um intervalo aberto
e seja
uma solução complexa de
onde
e
são funções reais. Mostre que
e
são, também, soluções dessa EDO.
Determine as integrais
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