Determine a relação entre as dimensões x e y de um retângulo de Área A de modo que ele tenha o menor perímetro.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a relação entre as dimensões e de um retângulo que tenha uma área fixa e que, além disso, tenha o menor perímetro possível. Ou seja, a gente quer descobrir como e devem se relacionar para que o perímetro seja o menor possível, mantendo a área igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de matemática sobre otimização usando cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas do retângulo. A área de um retângulo é dada por:
E o perímetro é:
A gente já sabe que a área deve ser igual a , então nossa primeira equação é .

Passo 3

Agora, nosso objetivo é minimizar o perímetro . Para isso, podemos expressar em função de usando a equação da área:
Substituindo isso na fórmula do perímetro, temos:
Agora, o problema se resume a encontrar o valor de que minimiza essa expressão para .

Passo 4

Para encontrar o mínimo de , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero. A derivada de em relação a é:
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Agora que achamos , podemos encontrar usando a relação :
Então, tanto quanto são iguais a .

Resposta

Para que um retângulo de área tenha o menor perímetro possível, as dimensões devem ser iguais, ou seja:

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da função 2^(-x^3). (3pts)
Suponha que as funções reais p e q são contínuas em um intervalo aberto I e seja y = phi(t) u(t) + i v(t) uma solução complexa de
y'' + p(t) y' + q(t) y = 0
onde u e v são funções reais. Mostre que u e v são, também, soluções dessa EDO.
Determine as integrais integral raiz7 x+9 d x
Determine as integrais integral x+12 x^2-5 x+2 d x