Esboce o gráfico da função 2^(-x^3). (3pts)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e análise de gráficos. Precisamos entender o comportamento da função, seus pontos importantes e como ela se comporta para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise:
Isso nos mostra que é uma função exponencial com base menor que 1, o que afeta o crescimento e decrescimento da função.

Passo 3

Vamos analisar o domínio da função. Como está definido para todo número real , o domínio da função também é todos os números reais, ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos observar o comportamento quando se aproxima de e :
  • Quando , , então .
  • Quando , , então .

Passo 5

Vamos encontrar o valor da função em alguns pontos chave:
  • Em :
Então, temos o ponto .
  • Em :
Então, o ponto .
  • Em :
Então, o ponto .

Passo 6

Vamos analisar a derivada para entender a monotonicidade da função:
Como e , o sinal de depende de , que é sempre negativo ou zero. Portanto, a função é decrescente para todo .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função passa pelo ponto .
  • Para , a função decresce em direção a 0.
  • Para , a função cresce em direção ao infinito.
  • Não há assíntotas verticais, mas há uma assíntota horizontal em .

Resposta

O gráfico da função é uma curva que passa pelo ponto , decresce para 0 à medida que aumenta positivamente e cresce indefinidamente à medida que se torna negativo. A função é sempre decrescente e possui uma assíntota horizontal em .

Exercícios relacionados

Suponha que as funções reais p e q são contínuas em um intervalo aberto I e seja y = phi(t) u(t) + i v(t) uma solução complexa de
y'' + p(t) y' + q(t) y = 0
onde u e v são funções reais. Mostre que u e v são, também, soluções dessa EDO.
Resolva o problema de valor inicial. 9 y'' + 12 y' + 4 y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0
Determine a relação entre as dimensões x e y de um retângulo de Área A de modo que ele tenha o menor perímetro.
Determine as integrais integral raiz7 x+9 d x