Esboce o gráfico da função
. (3pts)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e análise de gráficos. Precisamos entender o comportamento da função, seus pontos importantes e como ela se comporta para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise:
Isso nos mostra que é uma função exponencial com base menor que 1, o que afeta o crescimento e decrescimento da função.
Passo 3
Vamos analisar o domínio da função. Como
está definido para todo número real
, o domínio da função
também é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos observar o comportamento quando
se aproxima de
e
:
- Quando
, , então . - Quando
, , então .
Passo 5
Vamos encontrar o valor da função em alguns pontos chave:
- Em
:
Então, temos o ponto
.
- Em
:
Então, o ponto
.
- Em
:
Então, o ponto
.
Passo 6
Vamos analisar a derivada para entender a monotonicidade da função:
Como
e
, o sinal de
depende de
, que é sempre negativo ou zero. Portanto, a função é decrescente para todo
.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função passa pelo ponto
. - Para
, a função decresce em direção a 0. - Para
, a função cresce em direção ao infinito. - Não há assíntotas verticais, mas há uma assíntota horizontal em
.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva que passa pelo ponto
, decresce para 0 à medida que
aumenta positivamente e cresce indefinidamente à medida que
se torna negativo. A função é sempre decrescente e possui uma assíntota horizontal em
.
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e
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