Esboce o gráfico da função 2^(-x^3). (3pts)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e análise de gráficos. Precisamos entender o comportamento da função, seus pontos importantes e como ela se comporta para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise:
Isso nos mostra que é uma função exponencial com base menor que 1, o que afeta o crescimento e decrescimento da função.

Passo 3

Vamos analisar o domínio da função. Como está definido para todo número real , o domínio da função também é todos os números reais, ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos observar o comportamento quando se aproxima de e :
  • Quando , , então .
  • Quando , , então .

Passo 5

Vamos encontrar o valor da função em alguns pontos chave:
  • Em :
Então, temos o ponto .
  • Em :
Então, o ponto .
  • Em :
Então, o ponto .

Passo 6

Vamos analisar a derivada para entender a monotonicidade da função:
Como e , o sinal de depende de , que é sempre negativo ou zero. Portanto, a função é decrescente para todo .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função passa pelo ponto .
  • Para , a função decresce em direção a 0.
  • Para , a função cresce em direção ao infinito.
  • Não há assíntotas verticais, mas há uma assíntota horizontal em .

Resposta

O gráfico da função é uma curva que passa pelo ponto , decresce para 0 à medida que aumenta positivamente e cresce indefinidamente à medida que se torna negativo. A função é sempre decrescente e possui uma assíntota horizontal em .

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