Determine :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Isso está relacionado ao estudo de limites na matemática, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função cotangente e algumas propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a cotangente. A cotangente de um ângulo é definida como o cosseno desse ângulo dividido pelo seno dele, ou seja:
Então, nossa expressão
pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos reorganizar os termos:
Isso nos ajuda a separar a expressão em partes que conhecemos melhor em limites.
Passo 4
A gente sabe que:
Isso é uma das fórmulas fundamentais de limites envolvendo seno. Vamos usar isso aqui, mas para isso, precisamos ajustar nossa expressão para se encaixar nessa fórmula.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
. Então, quando
, também
. Reescrevendo nossa expressão em termos de
:
Então, nossa expressão fica:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite:
Sabemos que:
Então, substituindo na expressão:
Resposta
Portanto, o limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine as integrais
Determine a derivada de:
Determine as integrais