Determine : lim x 0 x cotg(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso está relacionado ao estudo de limites na matemática, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função cotangente e algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a cotangente. A cotangente de um ângulo é definida como o cosseno desse ângulo dividido pelo seno dele, ou seja:
cot(theta) = cos(theta)sin(theta)
Então, nossa expressão x cot(5x) = x cdot cos(5x)sin(5x) pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos reorganizar os termos:
x cdot cos(5x)sin(5x) = xsin(5x) cdot cos(5x)
Isso nos ajuda a separar a expressão em partes que conhecemos melhor em limites.

Passo 4

A gente sabe que:
limu to 0 sin(u)u = 1
Isso é uma das fórmulas fundamentais de limites envolvendo seno. Vamos usar isso aqui, mas para isso, precisamos ajustar nossa expressão para se encaixar nessa fórmula.

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja xsin(5x) = xsin(u) = xu cdot usin(u) = 15 cdot usin(u) (pois u = 5x) . Então, quando 15 cdot usin(u) cdot cos(u) , também . Reescrevendo nossa expressão em termos de :
Então, nossa expressão fica:

Passo 6

Agora, aplicamos o limite:
limx to 0 x cot(5x) = limu to 0 15 cdot usin(u) cdot cos(u)
Sabemos que:
limu to 0 usin(u) = 1 e limu to 0 cos(u) = cos(0) = 1
Então, substituindo na expressão:
15 cdot 1 cdot 1 = 15

Resposta

Portanto, o limite é igual a .

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