integral[(3 x^6-4 x^5+2 x^2x^2)-4 x] d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Estamos diante de uma integral:
integral[(3 x^6-4 x^5+2 x^2x^2)-4 x] d x
Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente a integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro da integral e então integrar cada termo separadamente usando as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Isso significa dividir cada termo do numerador por 3x^6x^2 = 3x^4, -4x^5x^2 = -4x^3, 2x^2x^2 = 2 :
3x^4 - 4x^3 + 2
Então, a expressão fica:
3x^4 - 4x^3 + 2 - 4x
Agora, subtraímos o que estava fora da fração:

Passo 3

Com a expressão simplificada, podemos reescrever a integral:
integral (3x^4 - 4x^3 - 4x + 2) , dx
A regra que vamos usar aqui é que a integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais de cada função. Ou seja:
integral (A + B + C + D) , dx = integral A , dx + integral B , dx + integral C , dx + integral D , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integrando integral 3x^4 , dx = 3 cdot x^55 = 35x^5 :
    A regra básica é que integral -4x^3 , dx = -4 cdot x^44 = -x^4 , onde integral -4x , dx = -4 cdot x^22 = -2x^2 é a constante de integração.
    integral 2 , dx = 2x
  2. Integrando :
  3. Integrando :
  4. Integrando :

Passo 5

Agora, juntamos todas as integrais que calculamos:
35x^5 - x^4 - 2x^2 + 2x + C
Onde é a constante de integração que representa todas as constantes possíveis que podem surgir durante a integração.

Resposta

A integral resolvida é:
35x^5 - x^4 - 2x^2 + 2x + C

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