Encontre as retas tangentes as curvas y = x^2 - 5x + 6 no ponto (5/2, -1/4)
Além disso, desenhe o gráfico juntamente com as retas tangentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as retas tangentes à curva no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função .

Passo 3

A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a . Então, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos calcular a inclinação da tangente no ponto dado . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 0.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, para desenhar o gráfico da função juntamente com a reta tangente , podemos plotar ambos os gráficos em um plano cartesiano.

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é .

Gráfico

Como não consigo desenhar diretamente, aqui está uma descrição de como ficaria o gráfico:
  1. A parábola abre para cima e intercepta o eixo em .
  2. O ponto está na parábola.
  3. A reta tangente é uma linha horizontal que toca a parábola exatamente nesse ponto.
  4. Para visualizar, você pode usar ferramentas como o Desmos ou o GeoGebra para plotar a parábola e a reta tangente.

Finalização

Se quiser verificar, basta plotar e em uma ferramenta de gráficos, e você verá que a reta tangente toca a parábola apenas no ponto .

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