Uma população de uma espécie em um lago é modelada pela função
onde
é a população e
é o tempo em meses.
Determine a taxa de variação da população em
meses.
Determine a taxa de variação da população em
Passo 1
Então, o problema que temos aqui fala sobre uma população de uma espécie em um lago, representada pela função
onde
é a população e
é o tempo em meses. A gente quer descobrir qual é a taxa de variação dessa população no momento em que
meses. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente, derivadas, que nos ajudam a entender como uma função está mudando em determinado ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos dá a taxa de variação da função. A função que temos é:
Para derivar, lembramos que a derivada de uma constante é zero e a derivada de
onde
é uma função de
é
vezes a derivada de
. Assim, aplicando isso:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos calcular sua valor no momento
meses. Substituindo
por 12:
Sabemos que
, então:
Resposta
A taxa de variação da população em
meses é
.