Uma população de uma espécie em um lago é modelada pela função
P(t) = 50 + 20 sen(pi/12 t)
onde P é a população e t é o tempo em meses.
Determine a taxa de variação da população em t = 12 meses.

Passo 1

Então, o problema que temos aqui fala sobre uma população de uma espécie em um lago, representada pela função
onde é a população e é o tempo em meses. A gente quer descobrir qual é a taxa de variação dessa população no momento em que meses. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente, derivadas, que nos ajudam a entender como uma função está mudando em determinado ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação da função. A função que temos é:
Para derivar, lembramos que a derivada de uma constante é zero e a derivada de onde é uma função de é vezes a derivada de . Assim, aplicando isso:
Simplificando:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos calcular sua valor no momento meses. Substituindo por 12:
Sabemos que , então:

Resposta

A taxa de variação da população em meses é .

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