Determine as integrais a seguir: integral 1(2 x+5)^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 1(2x+5)^2 dx. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de integração por substituição, que é útil quando temos uma função dentro de outra função. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar u = 2x + 5. Isso transforma a parte complicada da integral em algo mais fácil de manejar.

Passo 3

Agora, derivamos u em relação a x para encontrar du/dx = 2. Assim, podemos rearranjar para dx = du2. Isso nos permite substituir dx na integral original.

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral u^-2 du

Passo 5

Agora, integramos u^-2 em relação a u:
12 cdot ( u^-1-1 ) + C = -12u + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta por 2x + 5 para voltar à variável original:
-12(2x + 5) + C

Resposta

-12(2x + 5) + C

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