Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral0^3 2 sen x-e^x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos ajuda a calcular integrais definidas encontrando a antiderivada da função que estamos integrando. Para isso, vamos precisar encontrar as antiderivadas de e de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de cada termo separadamente.
  1. Antiderivada de :
    Sabemos que , onde integral 2 sen x , dx = 2 integral sen x , dx = 2 (-cos x) = -2 cos x é a constante de integração. Então,
  2. Antiderivada de integral -e^x , dx = -integral e^x , dx = -e^x :
    A antiderivada de é . Portanto,

Passo 3

Agora, combinamos as antiderivadas encontradas:

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde integral0^3 (2 sen x - e^x) , dx = [-2 cos x - e^x]0^3 = (-2 cos 3 - e^3) - (-2 cos 0 - e^0) é a antiderivada de , temos:

Passo 5

Agora, substituímos os valores:
  • (-2 cos 3 - e^3) - (-2 cdot 1 - 1) = -2 cos 3 - e^3 + 2 + 1 = 3 - 2 cos 3 - e^3 permanece como está.
Então:

Resposta

3 - 2 cos(3) - e^3

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