Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral1^18 raiz3z d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de até . Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais e nos ajuda a encontrar o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral: raiz3z = (3z)^12 = 3^12 cdot z^-12 = raiz3 cdot z^-12 . A raiz quadrada de uma fração pode ser reescrita como a fração com os expoentes divididos pela raiz. Então:

Passo 3

Agora, nossa integral fica assim:
integral1^18 raiz3 cdot z^-12 , dz
Como raiz3 integral1^18 z^-12 , dz é uma constante, podemos tirá-la de fora da integral:

Passo 4

Vamos lembrar da regra de integração para potências de integral z^n , dz = z^n+1n+1 + C . A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração. No nosso caso, .

Passo 5

Aplicando a regra, temos:
integral z^-12 , dz = z^-12 + 1-12 + 1 + C = z^1212 + C = 2 z^12 + C = 2 raizz + C

Passo 6

Voltando à nossa integral original com os limites de 1 a 18:
raiz3 [ 2 raizz ]1^18 = 2 raiz3 [ raiz18 - raiz1 ]

Passo 7

Vamos calcular raiz18 = raiz9 times 2 = 3 raiz2 e raiz1 = 1 :

Passo 8

Substituindo de volta:
2 raiz3 ( 3 raiz2 - 1 ) = 2 raiz3 cdot 3 raiz2 - 2 raiz3 cdot 1 = 6 raiz6 - 2 raiz3

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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