Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral1 / 2^1 / raiz2 4raiz1-y^2 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Para isso, precisamos encontrar a antiderivada da função que está dentro da integral e depois calcular a diferença dos valores dessa antiderivada nos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral: 4 integral12^1raiz2 1raiz1 - y^2 , dy . A constante 4 pode sair da integral, então temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de integral 1raiz1 - y^2 , dy = arcsin(y) + C . Essa é uma integral padrão que sabemos que é igual a . Ou seja:

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, substituímos os limites de integração na antiderivada encontrada:
4 [ arcsin(1raiz2) - arcsin(12) ]

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores de e :
  • (porque )
  • (porque )

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão anterior:
4 ( pi4 - pi6 )
Vamos calcular a diferença dentro dos parênteses:
pi4 - pi6 = 3pi12 - 2pi12 = pi12

Resposta

Portanto, a integral vale:
pi3

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