Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral1 / raiz3^raiz3 81+t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar antiderivadas de funções racionais e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos ddt (arctan t) = 11 + t^2 , que é uma função que reconhecemos do formato da derivada da função arco-tangente. Sabemos que:

Passo 3

Dessa forma, a antiderivada de 8 cdot arctan t + C é:
onde é a constante de integração, que a gente ignora em integrais definidas.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
integrala^b f(t) , dt = F(b) - F(a)
onde é a antiderivada de .

Passo 5

Então, substituindo os limites na antiderivada que encontramos:
8 cdot arctan (raiz3) - 8 cdot arctan ( 1raiz3 )

Passo 6

Vamos lembrar que é e é , porque esses são ângulos cujas tangentes são e , respectivamente.

Passo 7

Substituindo esses valores:
8 cdot pi3 - 8 cdot pi6 = 8pi3 - 8pi6

Passo 8

Simplificando as frações:
8pi3 - 4pi3 = 4pi3

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: integralpi^2 pi cos x d x
Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral1^18 raiz3z d z
Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral1^4 t-1raizt d t
Uma cidade é atingida por uma epidemia de gripe e as pessoas caem doentes à razão de 360 t 9 t^2 pessoas por dia. Sabendo que hoje há 150 casos registrados, quantas pessoas estarão infectadas daqui a uma semana?