Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar antiderivadas de funções racionais e aplicar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos
, que é uma função que reconhecemos do formato da derivada da função arco-tangente. Sabemos que:
Passo 3
Dessa forma, a antiderivada de
é:
onde
é a constante de integração, que a gente ignora em integrais definidas.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
onde
é a antiderivada de
.
Passo 5
Então, substituindo os limites na antiderivada que encontramos:
Passo 6
Vamos lembrar que
é
e
é
, porque esses são ângulos cujas tangentes são
e
, respectivamente.
Passo 7
Substituindo esses valores:
Passo 8
Simplificando as frações:
Resposta
A integral vale
.
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