Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral1^4 t-1raizt d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão dentro da integral e depois encontrar uma antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração t-1raizt = tt^1/2 - 1t^1/2 = t^1 - 1/2 - t^-1/2 = t^1/2 - t^-1/2 . Sabemos que , então podemos reescrever a expressão da seguinte forma:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral1^4 ( t^1/2 - t^-1/2 ) , dt
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de em relação a é , desde que .

Passo 4

Integrando integral t^1/2 , dt = t^(1/2)+1(1/2)+1 = t^3/23/2 = 23 t^3/2 :
integral -t^-1/2 , dt = -t^(-1/2)+1(-1/2)+1 = -t^1/21/2 = -2 t^1/2
Integrando :

Passo 5

Juntando as antiderivadas, temos:
integral1^4 ( t^1/2 - t^-1/2 ) , dt = [ 23 t^3/2 - 2 t^1/2 ]1^4
Isso significa que vamos calcular essa expressão em e subtrair o valor em .

Passo 6

Calculando para 23 (4)^3/2 - 2 (4)^1/2 = 23 times 8 - 2 times 2 = 163 - 4 = 163 - 123 = 43 :
23 (1)^3/2 - 2 (1)^1/2 = 23 times 1 - 2 times 1 = 23 - 2 = 23 - 63 = -43
Calculando para :

Passo 7

Agora, subtraímos o valor em 43 - ( -43 ) = 43 + 43 = 83 do valor em :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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