Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente descobrir se a integral converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai achar o valor dela. Vamos precisar saber sobre integrais impróprias e como determinar a convergência dessas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que é o mesmo que . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, para determinar se essa integral converge ou diverge, vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito. Observamos que, para muito grande, , então a integral se comporta aproximadamente como:

Passo 4

Vamos lembrar da regra das integrais do tipo . Essa integral converge se e diverge se . No nosso caso, , que é menor que 1. Então, a integral divergente nos indica que a integral original também diverge.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados

Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as integrais.
Calcule as integrais definidas.
Utilizando a manipulação algébrica (quando necessária), obtenha as integrais indefinidas de forma imediata.
Utilizando a manipulação algébrica (quando necessária), obtenha as integrais indefinidas de forma imediata.