Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente descobrir se a integral
converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai achar o valor dela. Vamos precisar saber sobre integrais impróprias e como determinar a convergência dessas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, para determinar se essa integral converge ou diverge, vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito. Observamos que, para
muito grande,
, então a integral se comporta aproximadamente como:
Passo 4
Vamos lembrar da regra das integrais do tipo
. Essa integral converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Então, a integral divergente
nos indica que a integral original também diverge.
Resposta
A integral
diverge.
Exercícios relacionados
Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as integrais.
Calcule as integrais definidas.
Utilizando a manipulação algébrica (quando necessária), obtenha as integrais indefinidas de forma imediata.
Utilizando a manipulação algébrica (quando necessária), obtenha as integrais indefinidas de forma imediata.