Utilizando a manipulação algébrica (quando necessária), obtenha as integrais indefinidas de forma imediata.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente calcular a integral indefinida de uma expressão que envolve funções trigonométricas. Especificamente, temos que integrar em relação a . Para resolver isso, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas e usar a manipulação algébrica para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da integral: . Sabemos que há uma identidade trigonométrica fundamental que diz que . Vamos usar essa identidade para simplificar nossa expressão.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão dentro da integral usando a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica muito mais simples:

Passo 4

Agora, integrar em relação a é bem direto. A integral de uma constante em relação a é , onde é a constante de integração.

Resposta

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Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.
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