Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir se a integral
converge ou diverge. Se convergir, também vamos achar o valor dela. Isso faz parte do cálculo integral, especificamente estudando integrais impróprias que envolvem limites infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma integral convergir ou divergir. Uma integral converge se ela tiver um valor finito, ou seja, se a área sob a curva for limitada. Por outro lado, ela diverge se o valor for infinito. No nosso caso, como o limite superior é infinito, estamos lidando com uma integral imprópria.
Passo 3
Vamos calcular a integral indefinida de
. Sabemos que:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 até
e depois calculamos o limite quando
tende ao infinito.
Passo 4
Aplicando os limites:
Agora, tiramos o limite quando
vai para o infinito:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.
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