Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as integrais.
integral0^2(4-2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região correspondente à integral definida e depois calcular essa integral. Para resolver isso, vamos precisar saber como desenhar gráficos de funções lineares e entender o que significa calcular uma integral definida, que basicamente nos dá a área sob a curva da função entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função . Essa é uma função linear, ou seja, é uma linha reta. Para desenhar, precisamos de alguns pontos:
  • Quando , , então temos o ponto (0, 4).
  • Quando , , então temos o ponto (2, 0).
Conectando esses dois pontos, temos uma linha reta que desce de (0, 4) até (2, 0).

Passo 3

Agora, a região que a integral representa é a área entre essa linha reta, o eixo e os limites de integração de 0 a 2. No caso, essa área forma um triângulo com base no intervalo de de 0 a 2 e altura de 4 unidades no .

Passo 4

Vamos calcular a integral integral (4 - 2x) , dx = 4x - x^2 + C . Primeiro, encontramos a antiderivada da função:
[4x - x^2]0^2 = (4(2) - (2)^2) - (4(0) - (0)^2) = (8 - 4) - 0 = 4
Onde é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 2:

Resposta

A integral vale 4.

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