Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem que analisar a integral
e decidir se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito). Se convergir, a gente também precisa encontrar esse valor. Para resolver, vamos usar cálculo integral, especialmente técnicas de integração e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Olha só, no numerador temos e no denominador . Isso sugere que podemos usar uma substituição para facilitar a integração.
Vamos definir:
Agora, derivamos em relação a :
Isso é ótimo porque o aparece exatamente no numerador da nossa integral original.

Passo 3

Com a substituição, a integral fica mais simples. Vamos reescrever tudo em termos de :
A integral de em relação a é o logaritmo natural de , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos voltar para a variável original substituindo :
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração, que são de a . Então, a integral definida fica:
Simplificando o segundo termo:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite:
À medida que tende ao infinito, também tende ao infinito, e o logaritmo natural de um número que vai para infinito também tende ao infinito. Portanto:
Substituindo de volta:

Resposta

A integral diverge, ou seja, ela tende ao infinito.

Exercícios relacionados

Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.
Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as integrais.
Calcule as integrais definidas.
Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.