Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.
integralraiz118^infty 2 xx^2+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem que analisar a integral
integralraiz118^infty 2xx^2+2 , dx
e decidir se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito). Se convergir, a gente também precisa encontrar esse valor. Para resolver, vamos usar cálculo integral, especialmente técnicas de integração e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Olha só, no numerador temos u = x^2 + 2 e no denominador dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx . Isso sugere que podemos usar uma substituição para facilitar a integração.
Vamos definir:
Agora, derivamos em relação a :
Isso é ótimo porque o aparece exatamente no numerador da nossa integral original.

Passo 3

Com a substituição, a integral fica mais simples. Vamos reescrever tudo em termos de integral 2xx^2+2 , dx = integral duu :
integral duu = ln|u| + C
A integral de em relação a é o logaritmo natural de , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos voltar para a variável original ln|u| + C = ln|x^2 + 2| + C substituindo ln(x^2 + 2) + C :
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração, que são de [ ln(x^2 + 2) ]raiz118^infty = limb to infty ln(b^2 + 2) - ln((raiz118)^2 + 2) a (raiz118)^2 + 2 = 118 + 2 = 120 . Então, a integral definida fica:
limb to infty ln(b^2 + 2) - ln(120)
Simplificando o segundo termo:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite:
limb to infty ln(b^2 + 2)
À medida que limb to infty ln(b^2 + 2) = infty tende ao infinito, infty - ln(120) = infty também tende ao infinito, e o logaritmo natural de um número que vai para infinito também tende ao infinito. Portanto:
Substituindo de volta:

Resposta

A integral diverge, ou seja, ela tende ao infinito.

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