Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem que analisar a integral
e decidir se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito). Se convergir, a gente também precisa encontrar esse valor. Para resolver, vamos usar cálculo integral, especialmente técnicas de integração e análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Olha só, no numerador temos
e no denominador
. Isso sugere que podemos usar uma substituição para facilitar a integração.
Vamos definir:
Agora, derivamos
em relação a
:
Isso é ótimo porque o
aparece exatamente no numerador da nossa integral original.
Passo 3
Com a substituição, a integral fica mais simples. Vamos reescrever tudo em termos de
:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos voltar para a variável original
substituindo
:
Como
é sempre positivo, podemos simplificar para:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração, que são de
a
. Então, a integral definida fica:
Simplificando o segundo termo:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite:
À medida que
tende ao infinito,
também tende ao infinito, e o logaritmo natural de um número que vai para infinito também tende ao infinito. Portanto:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral diverge, ou seja, ela tende ao infinito.
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Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as integrais.
Calcule as integrais definidas.
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