Determine todos os valores de x no intervalo [0, 2 pi] que satisfaçam a desigualdade
a) sen x <= 1/2
b) |tan(x)| < 1
c) cos(x) < sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria! A gente tem três desigualdades envolvendo as funções sen(x), tan(x) e cos(x). Pra resolver, vamos precisar conhecer os gráficos dessas funções e entender onde elas cumprem as condições dadas. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

a)
Primeiro, vamos lembrar que o seno de um ângulo representa a coordenada y no círculo trigonométrico. Queremos encontrar todos os no intervalo onde é menor ou igual a .
Sabemos que nos ângulos e . O gráfico do seno atinge nesses pontos e é maior entre esses valores.
Como queremos , vamos considerar os intervalos onde o seno está abaixo ou igual a . Isso acontece de até e de até .
Portanto, os valores de que satisfazem a desigualdade são:

Passo 3

b)
A tangente de é negativa ou positiva dependendo do quadrante, mas como estamos lidando com o valor absoluto, vamos considerar onde está entre e .
Sabemos que:
Vamos identificar nos quadrantes onde essa condição é verdadeira.
A tangente é menor que 1 nos quadrantes onde o seno e o cosseno têm o mesmo sinal, mas com valor absoluto menor que 1. Isso acontece principalmente nos primeiros dois quadrantes, mas precisamos identificar exatamente onde.
Resolvendo:
Mas como estamos no intervalo , ajustamos:

Passo 4

c)
Queremos encontrar os valores de onde o cosseno é menor que o seno. Vamos resolver a desigualdade:
Podemos dividir ambos os lados por (quando ):
Isso acontece nos quadrantes onde a tangente é positiva e maior que 1, ou seja, no primeiro e terceiro quadrantes. Mais especificamente:

Resposta

Resumindo, os valores de no intervalo que satisfazem cada desigualdade são:
a) :
b) :
c) :

Exercícios relacionados