Determine todos os valores de
no intervalo
que satisfaçam a desigualdade
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria! A gente tem três desigualdades envolvendo as funções sen(x), tan(x) e cos(x). Pra resolver, vamos precisar conhecer os gráficos dessas funções e entender onde elas cumprem as condições dadas. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos lembrar que o seno de um ângulo representa a coordenada y no círculo trigonométrico. Queremos encontrar todos os
no intervalo
onde
é menor ou igual a
.
Sabemos que
nos ângulos
e
. O gráfico do seno atinge
nesses pontos e é maior entre esses valores.
Como queremos
, vamos considerar os intervalos onde o seno está abaixo ou igual a
. Isso acontece de
até
e de
até
.
Portanto, os valores de
que satisfazem a desigualdade são:
Passo 3
b)
A tangente de
é negativa ou positiva dependendo do quadrante, mas como estamos lidando com o valor absoluto, vamos considerar onde
está entre
e
.
Sabemos que:
Vamos identificar nos quadrantes onde essa condição é verdadeira.
A tangente é menor que 1 nos quadrantes onde o seno e o cosseno têm o mesmo sinal, mas com valor absoluto menor que 1. Isso acontece principalmente nos primeiros dois quadrantes, mas precisamos identificar exatamente onde.
Resolvendo:
Mas como estamos no intervalo
, ajustamos:
Passo 4
c)
Queremos encontrar os valores de
onde o cosseno é menor que o seno. Vamos resolver a desigualdade:
Podemos dividir ambos os lados por
(quando
):
Isso acontece nos quadrantes onde a tangente é positiva e maior que 1, ou seja, no primeiro e terceiro quadrantes. Mais especificamente:
Resposta
Resumindo, os valores de
no intervalo
que satisfazem cada desigualdade são:
a)
:
b)
:
c)
:
Exercícios relacionados
Calcule:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Esboce o gráfico das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(h)
(h)
Determine o valor das funções trigonométricas tan, cotan, sec e csc nos seguintes ângulos:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)