Mostre que
é diferenciável em (1,0). Em seguida, determine seu plano tangente e encontre sua a linearização. Usando linearização encontrada, aplique no ponto
. Compara o valor obtido com o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função dada por
e queremos mostrar que ela é diferenciável no ponto
. Depois disso, vamos encontrar o plano tangente a essa função nesse ponto, a sua linearização, e usar essa linearização para estimar o valor de
. Por último, vamos comparar esse valor estimado com o valor real da função nesse ponto. Para tudo isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade, como calcular derivadas parciais, como construir o plano tangente e a linearização de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função é diferenciável em um ponto. Em termos simples, uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais contínuas naquele ponto. Isso garante que a função possa ser aproximada por um plano nos arredores desse ponto, o que é a base para o plano tangente e a linearização.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em
, podemos concluir que
é diferenciável nesse ponto.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o plano tangente à função no ponto
. A equação geral do plano tangente a uma função
no ponto
é:
Vamos calcular
:
Substituindo na equação do plano tangente:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 5
A linearização de uma função
no ponto
é basicamente o mesmo que o plano tangente, e serve para aproximar o valor da função próximo a esse ponto. Assim, a linearização
de
em
é:
Passo 6
Vamos usar a linearização para estimar o valor de
. Substituindo
e
na linearização:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor real de
:
Resposta
A linearização de
em
é
. Usando-a para estimar
, obtemos
. O valor real é aproximadamente
, mostrando que a aproximação está bastante próxima do valor exato.
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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções:
.
Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto
no ponto
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções:
.
Determine
onde
éa parte do plano
que está dentro do cilindro
.