Mostre que f(x, y) = x e^(x y) é diferenciável em (1,0). Em seguida, determine seu plano tangente e encontre sua a linearização. Usando linearização encontrada, aplique no ponto (1.1, -0.1). Compara o valor obtido com o valor de f(1.1,-0.1).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função dada por e queremos mostrar que ela é diferenciável no ponto . Depois disso, vamos encontrar o plano tangente a essa função nesse ponto, a sua linearização, e usar essa linearização para estimar o valor de . Por último, vamos comparar esse valor estimado com o valor real da função nesse ponto. Para tudo isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade, como calcular derivadas parciais, como construir o plano tangente e a linearização de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função é diferenciável em um ponto. Em termos simples, uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais contínuas naquele ponto. Isso garante que a função possa ser aproximada por um plano nos arredores desse ponto, o que é a base para o plano tangente e a linearização.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em , podemos concluir que é diferenciável nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o plano tangente à função no ponto . A equação geral do plano tangente a uma função no ponto é:
Vamos calcular :
Substituindo na equação do plano tangente:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 5

A linearização de uma função no ponto é basicamente o mesmo que o plano tangente, e serve para aproximar o valor da função próximo a esse ponto. Assim, a linearização de em é:

Passo 6

Vamos usar a linearização para estimar o valor de . Substituindo e na linearização:

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor real de :

Resposta

A linearização de em é . Usando-a para estimar , obtemos . O valor real é aproximadamente , mostrando que a aproximação está bastante próxima do valor exato.

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