Determine se a integral imprópria converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
integral1^infty 1x d x

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para a gente verificar se a integral imprópria integral1^infty 1x , dx converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre integrais impróprias e como determinar a convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou a função tem algum ponto onde não é definida dentro do intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é infinito, então temos uma integral imprópria.

Passo 3

A próxima coisa que precisamos fazer é reescrever a integral com um limite finito e depois analisar o comportamento quando esse limite tende ao infinito. Ou seja, vamos definir:
integral1^infty 1x , dx = limb to infty integral1^b 1x , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida integral 1x , dx. Sabemos que a integral de 1x é o logaritmo natural de x, ou seja:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração, temos:
integral1^b 1x , dx = ln|b| - ln|1|
Sabemos que ln(1) = 0, então simplificando:
ln(b) - 0 = ln(b)

Passo 6

Agora, vamos aplicar o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty ln(b) = infty
Isso significa que, conforme b cresce sem limites, o valor da integral também cresce sem limites.

Resposta

A integral imprópria integral1^infty 1x , dx diverge, pois seu valor tende ao infinito.

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