Determine se a integral imprópria converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para a gente verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre integrais impróprias e como determinar a convergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou a função tem algum ponto onde não é definida dentro do intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é infinito, então temos uma integral imprópria.
Passo 3
A próxima coisa que precisamos fazer é reescrever a integral com um limite finito e depois analisar o comportamento quando esse limite tende ao infinito. Ou seja, vamos definir:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida
. Sabemos que a integral de
é o logaritmo natural de
, ou seja:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os limites de integração, temos:
Sabemos que
, então simplificando:
Passo 6
Agora, vamos aplicar o limite quando
tende ao infinito:
Isso significa que, conforme
cresce sem limites, o valor da integral também cresce sem limites.
Resposta
A integral imprópria
diverge, pois seu valor tende ao infinito.