Num oscilador harmônico a massa
e a constante da força
. Em
, ele apresenta um deslocamento
e velocidade
. Calcule a posição e a velocidade para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um oscillator harmônico simples, que é basicamente uma massa presa a uma mola. Temos uma massa de $ m = 0,20 , kg $ e uma constante elástica da mola de $ k = 20 , N/m $. No tempo inicial $ t = 0 $, a massa está deslocada em $ x = -4,0 , cm $ e tem uma velocidade de $ v = 30 , cm/s $. Nosso objetivo é descobrir qual vai ser a posição $ x $ e a velocidade $ v $ da massa no tempo $ t = \frac{\pi}{20} , s $. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento harmônico simples, que envolvem entender a posição e a velocidade em função do tempo usando equações trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a frequência angular $ \omega $ do sistema. A frequência angular é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações da posição $ x(t) $ e da velocidade $ v(t) $ para um oscilador harmônico simples:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 4
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $. No tempo $ t = 0 $:
Para a posição:
Então, $ A = -0,04 , m $.
Para a velocidade:
Substituindo $ \omega = 10 , rad/s $:
Passo 5
Com $ A $ e $ B $ determinados, podemos reescrever as equações de $ x(t) $ e $ v(t) $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a posição e a velocidade no tempo $ t = \frac{\pi}{20} , s $.
Primeiro, a posição:
Sabendo que $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $:
Agora, a velocidade:
Resposta
Para $ t = \frac{\pi}{20} , s $, a posição da massa é $ x = 3,0 , cm $ e a velocidade é $ v = 40 , cm/s $.