Num oscilador harmônico a massa m=0,20 kg e a constante da força k=20 N / m. Em t=0,0 s, ele apresenta um deslocamento x=-4,0 cm e velocidade v=30 cm / s. Calcule a posição e a velocidade para t=pi / 20 s (x=3,0 cm, v=40 cm / s)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um oscillator harmônico simples, que é basicamente uma massa presa a uma mola. Temos uma massa de $ m = 0,20 , kg $ e uma constante elástica da mola de $ k = 20 , N/m $. No tempo inicial $ t = 0 $, a massa está deslocada em $ x = -4,0 , cm $ e tem uma velocidade de $ v = 30 , cm/s $. Nosso objetivo é descobrir qual vai ser a posição $ x $ e a velocidade $ v $ da massa no tempo $ t = \frac{\pi}{20} , s $. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento harmônico simples, que envolvem entender a posição e a velocidade em função do tempo usando equações trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a frequência angular $ \omega $ do sistema. A frequência angular é dada por:
omega
Substituindo os valores que temos:
omega = raizkm

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações da posição $ x(t) $ e da velocidade $ v(t) $ para um oscilador harmônico simples:
x(t)
v(t)
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 4

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $. No tempo $ t = 0 $:
Para a posição:
A
Então, $ A = -0,04 , m $.
Para a velocidade:
B
Substituindo $ \omega = 10 , rad/s $:
t = 0

Passo 5

Com $ A $ e $ B $ determinados, podemos reescrever as equações de $ x(t) $ e $ v(t) $:
A
B

Passo 6

Agora, vamos calcular a posição e a velocidade no tempo $ t = \frac{\pi}{20} , s $.
Primeiro, a posição:
t = pi20 , s
Sabendo que $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $:
x(pi20) = -0,04 cos(10 times pi20) + 0,03 sin(10 times pi20) = -0,04 cos(pi2) + 0,03 sin(pi2)
Agora, a velocidade:
cos(pi2) = 0

Resposta

Para $ t = \frac{\pi}{20} , s $, a posição da massa é $ x = 3,0 , cm $ e a velocidade é $ v = 40 , cm/s $.

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