Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
integral0^1 d xraiz1-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se uma integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular o valor dela. O conteúdo aqui é de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender o que faz uma integral ser imprópria e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Olhando para a função dentro da integral:
1raiz1 - x
vemos que, quando se aproxima de 1, o denominador se aproxima de zero, fazendo com que a função fique sem limites (ou seja, tende ao infinito). Isso caracteriza uma integral imprópria porque a função não é definida em todo o intervalo de integração.

Passo 3

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, precisamos calcular o limite da integral quando integral0^1 dxraiz1 - x = limb to 1^- integral0^b dxraiz1 - x se aproxima de 1. Vamos reescrever a integral usando um limite:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida integral dxraiz1 - x = -integral duraizu = -2raizu + C = -2raiz1 - x + C . Fazendo uma substituição simples, deixe , então . A integral fica:

Passo 5

Voltando ao limite que definimos:
limb to 1^- [ -2raiz1 - x ]0^b = limb to 1^- ( -2raiz1 - b + 2raiz1 - 0 )
Simplificando:
= limb to 1^- ( -2raiz1 - b + 2 ) = -2 times 0 + 2 = 2

Resposta

A integral imprópria é convergente e o seu valor é 2.

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