Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se uma integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular o valor dela. O conteúdo aqui é de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender o que faz uma integral ser imprópria e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Olhando para a função dentro da integral:
vemos que, quando
se aproxima de 1, o denominador
se aproxima de zero, fazendo com que a função fique sem limites (ou seja, tende ao infinito). Isso caracteriza uma integral imprópria porque a função não é definida em todo o intervalo de integração.
Passo 3
Para determinar se a integral é convergente ou divergente, precisamos calcular o limite da integral quando
se aproxima de 1. Vamos reescrever a integral usando um limite:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida
. Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
. A integral fica:
Passo 5
Voltando ao limite que definimos:
Simplificando:
Resposta
A integral imprópria é convergente e o seu valor é 2.