Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a integral é convergente ou divergente. Se der convergente, a gente também vai calcular o valor dela. A integral que temos é:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de integração como substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Uma integral imprópria é aquela onde o intervalo de integração é infinito ou onde a função tem descontinuidades no intervalo. No nosso caso, o limite superior é , então a integral é imprópria por ter um limite infinito.

Passo 3

Para determinar se a integral converge ou diverge, vamos calcular o limite quando a variável vai para o infinito. Mas antes, vamos simplificar a integral para facilitar o cálculo. Observamos que o numerador é e o denominador é . Isso sugere que uma substituição pode ser útil.

Passo 4

Vamos usar a substituição . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos na integral original:

Passo 5

A integral é o logaritmo natural de , ou seja:
Voltando para a variável original , temos:

Passo 6

Agora, precisamos calcular o valor da integral definida de até . Isso significa que vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 7

Calculando o limite:
Simplificando:
Sabemos que tende a quando , e tende a infinito. Então:

Resposta

A integral é divergente.

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Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.