Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a integral é convergente ou divergente. Se der convergente, a gente também vai calcular o valor dela. A integral que temos é:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de integração como substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Uma integral imprópria é aquela onde o intervalo de integração é infinito ou onde a função tem descontinuidades no intervalo. No nosso caso, o limite superior é
, então a integral é imprópria por ter um limite infinito.
Passo 3
Para determinar se a integral converge ou diverge, vamos calcular o limite quando a variável vai para o infinito. Mas antes, vamos simplificar a integral para facilitar o cálculo. Observamos que o numerador é
e o denominador é
. Isso sugere que uma substituição pode ser útil.
Passo 4
Vamos usar a substituição
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Agora, substituímos na integral original:
Passo 5
A integral
é o logaritmo natural de
, ou seja:
Voltando para a variável original
, temos:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o valor da integral definida de
até
. Isso significa que vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Passo 7
Calculando o limite:
Simplificando:
Sabemos que
tende a
quando
, e
tende a infinito. Então:
Resposta
A integral é divergente.
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Resolva o PVI
e
.
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.