Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea
e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 3
Vamos resolver a equação característica
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa
. Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução na forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Logo,
. Então, a solução particular é:
Passo 5
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea com a solução particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes reais.
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a)
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