Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 3

Vamos resolver a equação característica . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é , vamos tentar uma solução na forma , onde é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Logo, . Então, a solução particular é:

Passo 5

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea com a solução particular:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes reais.

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a)