lim n infty 4n sumi=1^n[2+4 in+ln (2+4 in)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma soma quando tende ao infinito. Estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com Riemann Sums, que nos ajudam a transformar somas em integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter essa soma em uma integral definida.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão:
lim n infty 4n sumi=1^n[2+4 in+ln (2+4 in)]
Aqui, vemos que a soma está sendo multiplicada por . Isso sugere que estamos somando valores de uma função em intervalos iguais de largura .

Passo 3

Vamos identificar no contexto de Riemann Sums. Geralmente, , onde é o limite inferior do intervalo. Neste caso, parece que nosso intervalo está de 2 a 6, já que quando , e quando , .
Então, .

Passo 4

Agora, reescrevemos a soma em termos de 4n sumi=1^n[2 + xi + ln(xi)] :
sumi=1^n f(xi) De
Isso se assemelha à forma geral de uma Riemann Sum:
Onde e .

Passo 5

Quando integral2^6 (2 + x + ln(x)) dx tende ao infinito, a Riemann Sum se aproxima da integral definida de no intervalo de 2 a 6:

Passo 6

Vamos calcular essa integral passo a passo. Integrando cada termo separadamente:
integral 2 , dx = 2x
integral x , dx = x^22
integral ln(x) , dx = x ln(x) - x

Passo 7

Juntando tudo, a integral fica:
2x + x^22 + x ln(x) - x |2^6
Simplificando:
2x + x^22 + x ln(x) - x = x + x^22 + x ln(x)

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 6 e 2:
Para 6 + 6^22 + 6 ln(6) = 6 + 18 + 6 ln(6) = 24 + 6 ln(6) :
2 + 2^22 + 2 ln(2) = 2 + 2 + 2 ln(2) = 4 + 2 ln(2)
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:
(24 + 6 ln(6)) - (4 + 2 ln(2)) = 20 + 6 ln(6) - 2 ln(2)
Podemos simplificar mais:
20 + 6 ln(6) - 2 ln(2) = 20 + 6 ln(6) - 2 ln(2)

Resposta

O limite da expressão é:
20 + 6 ln(6) - 2 ln(2)

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