Resolva o PVI e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: . Além disso, temos duas condições iniciais: e . Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, vamos começar encontrando a equação característica associada à equação diferencial:
Essa equação nos ajuda a determinar as raízes que vão definir o tipo de solução que teremos (reais ou complexas).

Passo 3

Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
As raízes são complexas: e .

Passo 4

Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e . Assim, a solução geral fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, usamos :
Então, .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar . Para isso, vamos calcular a derivada de e aplicar a segunda condição inicial .
Primeiro, calculamos :
Agora, aplicamos :
Sabemos que e , ent��o:
Igualando à condição inicial:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Sejam e soluções da equação , onde e são contínuas em um intervalo aberto . Prove que e são linearmente dependentes em se, e somente se, para todo . Prove também que, e são linearmente independentes em se, e somente se, para todo .
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.