Resolva o PVI
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
. Além disso, temos duas condições iniciais:
e
. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, vamos começar encontrando a equação característica associada à equação diferencial:
Essa equação nos ajuda a determinar as raízes que vão definir o tipo de solução que teremos (reais ou complexas).
Passo 3
Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
As raízes são complexas:
e
.
Passo 4
Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
. Assim, a solução geral fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, usamos
:
Então,
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, vamos calcular a derivada de
e aplicar a segunda condição inicial
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, aplicamos
:
Sabemos que
e
, ent��o:
Igualando à condição inicial:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Sejam
e
soluções da equação
, onde
e
são contínuas em um intervalo aberto
. Prove que
e
são linearmente dependentes em
se, e somente se,
para todo
. Prove também que,
e
são linearmente independentes em
se, e somente se,
para todo
.
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.