Sejam v1=[r1 3 -1], v2=[c-5 -8 2] e v=[r3 -5 h]. Para que valor (ou valores) de h o vetor v pertence ao plano gerado por v1 e v2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta três vetores no espaço tridimensional: 1 3 -1, -5 -8 2 e 3 -5 h. A questão pede para encontrarmos o valor de que faz com que o vetor pertença ao plano gerado pelos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, entender que se o vetor v = a cdot v1 + b cdot v2 está no plano gerado por e , ele pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Ou seja,
onde e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos montar as equações com base nas componentes dos vetores. Isso significa igualar cada componente de 3 = a cdot 1 + b cdot (-5) -5 = a cdot 3 + b cdot (-8) h = a cdot (-1) + b cdot 2 à combinação linear correspondente:
Como queremos encontrar , vamos primeiro resolver o sistema formado pelas duas primeiras equações para encontrar e .

Passo 4

Resolvendo o sistema:
3 = a - 5b (1) -5 = 3a - 8b (2)
Vamos isolar a = 3 + 5b na equação (1):
-5 = 3(3 + 5b) - 8b -5 = 9 + 15b - 8b -5 = 9 + 7b -14 = 7b b = -2
Agora, substituímos na equação (2):

Passo 5

Com o valor de a = 3 + 5(-2) a = 3 - 10 a = -7 encontrado, substituímos de volta na expressão para :

Passo 6

Agora que temos h = (-7)(-1) + (-2)(2) h = 7 - 4 h = 3 e , vamos encontrar usando a terceira equação:

Resposta

O valor de que faz o vetor pertencer ao plano gerado por e é .

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