Determine a integral indefinida f(x) = f (3t² + t/2) dt e assinale a alternativa que a contenha.
A - 6t³ + 12t + C
B - 4t³ + 3t + 12 + C
C - 12t³ + 12t² + C
D - t³ + t²/4 + C
E -t³ + t² + C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de $ 3t² + \frac{t}{2} $ em relação a $ t $. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a regra básica da integral de funções polinomiais. Para resolver isso, precisamos integrar cada termo da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o termo $ 3t² $. A regra básica de integração para potências de $ t $ é:
3t²
Aplicando isso ao nosso termo:
t ²

Passo 3

Agora, vamos integrar o segundo termo $ \frac{t}{2} $. Podemos reescrever esse termo como $ \frac{1}{2}t $ para facilitar a integração:
t2
Usando a mesma regra de potência:
12t
Portanto:
integral t2 , dt = 12 integral t , dt

Resposta

A integral indefinida é $ t^{3} + \frac{t^{2}}{4} + C $. Portanto, a alternativa correta é a D.

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